Ánh xạ là gì

Nội dung bài giảng Bài 2: Ánh xạ sau đây sẽ giúp đỡ các bạn tò mò về khái niệm, nghịch hình ảnh, toàn ánh, đối chọi ánh, song ánh, ảnh xạ ngược, hình ảnh xạ đúng theo. Mời chúng ta cùng tmê mệt khảo!


1. Định nghĩa

2. Nghịch ảnh: (hình họa ngược, tiền ảnh)

3. Toàn ánh

4. Đơn ánh

5. Song ánh

6. Ảnh xạ ngược

7. Ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)

8. Định nghĩa


*

Cho nhì tập vừa lòng (X,Y e emptyset), một phnghiền links f tương ứng mỗi phần tử x (in) X cùng với tốt nhất bộ phận y (in) Y được Điện thoại tư vấn là 1 trong ánh xạ từ X vào Y.

Bạn đang xem: Ánh xạ là gì

Ký hiệu: f : X →Y

(x, mapsto y = f(x))

lúc kia X Điện thoại tư vấn là tập phù hợp nguồn (miền xác định) và Y Hotline là tập hợp đích (miền ảnh).

Nhận xét : f : X → Y là một trong ánh xạ trường hợp hồ hết thành phần của X đều sở hữu hình ảnh độc nhất ((in) Y)

Ánh xạ f : X → R với(X subphối R) được Gọi là một trong những hàm số thực cùng với đổi mới số thực số thực.


Cho ánh xạ f : X→ Y

(A subset X), hình họa của tập A là(f(A) = left f(x) in Yleft ight\)

Hình ảnh ngược của(B subset Y) là(f^ - 1(B) = left f(x) ight. in B ight\)

điều đặc biệt khi(B = left y ight submix Y) ta viết(f^ - 1( y ) = f^ - 1(y) = left f(x) = y ight. ight\)

(x in f^ - 1(y))được call là hình ảnh ngược của y

Ví dụ: Cho f : R→ R, f(x) = x2 và B = -5, 2, 4, 9, 0

Thì

(eginarrayl f^ - 1left( B ight) = m left pm sqrt 2 , pm 2, pm 3,0 ight\ f^ - 1left( 169 ight) = left pm 13 ight;f^ - 1left( - 3 ight) = m emptymix \ f^ - 1left( 2 ight) = left pm sqrt 2 ight;f^ - 1left( - 5 ight) = emptymix endarray)


3. Toàn ánh:


Cho ánh xạ f : X→ Y, ta nói f là toàn ánh Khi và chỉ lúc f(X) = Y.

Ta có:

(f(X) = Y Leftrightarrow forall y in Y,exists in X:f(x) = y)

(Leftrightarrow forall y in Y), phương thơm trình y = f(x) gồm ít nhất một nghiệm.

( Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y) e emptyset)

Ví dụ:

i) f : R → R, f(x) =x2 ko là toàn ánh vì(f^ - 1( - 2) = emptyset) (phương trình x2 = 2 : vô nghiệm)

ii) f : R → R+, f(x) = x2 là toàn ánh vì (forall y in R^ + ), phương thơm trình f(x) = y ⇔ Z2 = y luôn tất cả nghiệm(x = pm sqrt y)

Nhận xét: Giả sử f : X → Y là toàn ánh và X, Y là tập thích hợp hữu hạn thì card X > card Y.


4. Đơn ánh


Cho ánh xạ f: X → Y.

Xem thêm: Phần Mềm Load Container - Hướng Dẫn Sử Dụng Phần Mềm Cube

f là solo ánh(forall x_1,x_2 in X,va,x_1 e x_2 Rightarrow f(x_1) e f(x_2))

Ta có: f là solo ánh

“( Leftrightarrow forall x_1,x_2 in X) và f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2”

(Leftrightarrow forall y in Y), phương thơm trình y = f(x) có rất nhiều tốt nhất là 1 trong những nghiệm”

(Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y) = emptyset)hay(f^ - 1(y)) gồm đúng một phần tử”

Ví dụ:

f : R → R , f(x) = x2 không là 1-1 ánh bởi vì f(-2) = f(2) = 4

f : R+ →R xuất xắc R- → R, f(x) = x2 là đối chọi ánh

f : R →R,(f(x) = frac3x - 57) là đối chọi ánh vì

(eginarrayl forall x_1x_2 in R,,va,,f(x_1) = f(x_2)\ Leftrightarrow frac3x_1 - 57 = frac3x_2 - 57 Leftrightarrow x_1 = x_2 endarray)


5. Song ánh:


Cho ánh xạ f: X→ Y.

f là tuy nhiên ánh ⇔f là đối kháng ánh với f là toàn ánh.

Ta có: f là tuy vậy ánh

(Leftrightarrow forall y in Y), phương thơm trình f(x) = y bao gồm duy nhất nghiệm


(Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y))tất cả duy nhất một trong những phần tử.

Ví dụ:

(f:R lớn R;,f(x) = frac3x - 57)là song ánh vì(forall y in R), phương trình(y = frac3x - 57)có nghiệm duy nhất(x = frac7x + 53)


6. Ảnh xạ ngược:


Nếu f : X → Y là tuy nhiên ánh(x mapslớn f(x))thì ánh xạ sau được điện thoại tư vấn là ánh xạ ngược của f :

(eginarrayl f^ - 1:Y o X\ y = f(x) mapsto lớn x = f^ - 1(y) endarray)

Ví dụ:

(eginarrayl f:R^ + o R^ + ,f(x) = x^2\ (y = x^2 Leftrightarrow x = sqrt y ,x,y ge 0)\ f^ - 1(y) = sqrt y (x,y ge 0),,hay,f^ - 1(x) = sqrt x , endarray )

Ví dụ:

(eginarrayl f:R^ - o lớn R^ + ,f(x) = x^2\ f^ - 1(y) = - sqrt y ,,hay,f^ - 1(x) = - sqrt x , endarray)

Ví dụ:

(eginarrayl f:R lớn R^ + ackslash 0 ;f(x) = 3^x\ f^ - 1:R^ + ackslash 0 khổng lồ R,,hay,f^ - 1(x) = log _3x endarray )


7. Hình ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)


Cho nhị ánh xạ f : X → Y cùng g: Y → Z.

Ánh xạ h : X → Z được tư tưởng h(x) = g,(forall x in X)

Ký hiệu: h = gof được điện thoại tư vấn là ánh xạ vừa lòng (ánh xạ tích) của f và g.

Ví dụ:

(eginarrayl f:R o lớn <5; + infty ),f(x) = x^2 + 5\ g:,<5; + infty ) lớn R^ - ,,g(x) = - sqrt x + 2 endarray)

Thì(g_of(x) = g(x^2 + 5) = - sqrt (x^2 + 5) + 2 = - sqrt x^2 + 7)

Ví dụ:(f,g:R o R;f(x) = 3x^2 - x;,,g(x) = frac2x + 54)

Thì

(g_of(x) = g(3x^2 - x) = frac2(3x^2 - x) + 54 = frac6x^2 - 2x + 54)

(f_og(x) = fleft( frac2x + 54 ight) = 3left( frac2x + 54 ight)^2 - frac2x + 54 = frac12x^2 + 52x + 5516)

Nhận xét:

Đôi khi,(g_of e f_og)(left( g_of ight)^ - 1 = f^ - 1_og^ - 1)(trả sử f, g là song ánh)(f^ - 1_of^ - 1(y) = y,forall y in Y)(f:X → Y là tuy vậy ánh)(f^ - 1_of^ - 1(x) = x,forall x in X)(f:X → Y là tuy nhiên ánh)Giả sử(f_o(g_oh)) trường thọ, ta có:((f_og)_oh = f_o(g_oh))

8. Định nghĩa


Một tập A được nói là hữu hạn và gồm n bộ phận nếu như mãi mãi một tuy nhiên ánh giữa A và tập con 1, 2, 3,..., n của N . Lúc kia, ta viết: CardA = n giỏi |A| = n.Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng ví như trường tồn một tuy vậy ánh từ A vào B.Một tập A được nói là đếm được giả dụ trường tồn một tuy nhiên ánh thân A cùng tập nhỏ N của N . Lúc kia, nếu như N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được. Nói phương pháp khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được nếu như trường tồn một tuy vậy ánh thân A với tập N .